TOPSIS优劣解距离法

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution），可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间地差距。

第一步：将原始矩阵正向化

最常见的四种指标：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益性）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	pH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标（转换的函数形式不唯一）。

极小型指标转换为极大型指标

公式：

$$max-x$$

如果所有元素均是正整数，也可用$\frac{1}{x}$。

中间型指标转换为极大型指标

中间型指标：指标值不太大也不太小，而是接近某一特定值。
{$x_i$}是一组中间型指标序列，且最佳数值为$x_{best}$，那么正向化的公式如下：

$$M=max\{|x_{i}-x_{best}|\}$$ $$\tilde{x_{i}}=1-\frac{|x_{i}-x_{best}|}{M}$$

例：

pH值（转换前）	pH值（转换后）
6	$1-\frac{\vert 6-7\vert}{2}=\frac{1}{2}$
7	$1-\frac{\vert 7-7\vert}{2}=1$
8	$1-\frac{\vert 8-7\vert}{2}=\frac{1}{2}$
9	$1-\frac{\vert 9-7\vert}{2}=0$

确定$x_{best}的值$：

$$x_{best}=7$$

计算$M$：

$$M=max\{|6-7|,|7-7|,|8-7|,|9-7|\}=2$$

区间型指标转换为极大型指标

指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°~37°这个区间比较好。
$\{x_i\}$是一组中间型指标序列，且最佳的区间为$[a,b]$，那么正向化的公式如下：

$$M=max\{a-min\{x_{i}\},max\{x_{i}-b\}\}$$ $$\tilde{x_{i}}=\begin{cases} 1-\frac{a-x}{M},&{x<a}\\ 1,&a\leqslant x\leqslant b\\ 1-\frac{x-b}{M},&x>b \end{cases}$$

体温（转换前）	体温（转换后）
35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

由人的体温在36°~37°可得$a=36$，$b=37$。

由公式得：

$$M=max\{36-35.2,38.4-37\}=1.4$$

第二步：正向化矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。

为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化）构成的正向化矩阵如下：

$$X=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&{\cdots}&x_{1m}\\ x_{21}&x_{22}&{\cdots}&x_{2m}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_{n1}&x_{n2}&{\cdots}&x_{nm} \end{bmatrix}$$

那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：

$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}x_{ij}^{2}}}$$

（每一个元素/根号下其所在列的元素的平方和）

第三步：计算得分并归一化

假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵。

$$Z=\begin{bmatrix} z_{11}&z_{12}&{\cdots}&z_{1m}\\ z_{21}&z_{22}&{\cdots}&z_{2m}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ z_{n1}&z_{n2}&{\cdots}&z_{nm} \end{bmatrix}$$

定义最大值$Z^{+}$：

$$Z^{+}=(Z^{+}_{1},Z^{+}_{2},{\cdots},Z^{+}_{m})\\ =(max\{z_{11},z_{21},{\cdots},z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},{\cdots},z_{n2}\},{\cdots},max\{z_{1m},z_{2m},{\cdots},z_{nm}\})$$

定义最小值$Z^{-}$：

$$Z^{-}=(Z^{-}_{1},Z^{-}_{2},{\cdots},Z^{-}_{m})\\ =(max\{z_{11},z_{21},{\cdots},z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},{\cdots},z_{n2}\},{\cdots},max\{z_{1m},z_{2m},{\cdots},z_{nm}\})$$

定义第$i(i=1,2,{\cdots},n)$个评价对象与最大值的距离

$$D^{+}_{i}=\sqrt{\sum \limits_{j=1}^{m}(Z^{+}_{j}-z_{ij})^{2}}$$

定义第c个评价对象与最小值的距离

$$D^{-}_{i}=\sqrt{\sum \limits_{j=1}^{m}(Z^{-}_{j}-z_{ij})^{2}}$$

那么，我们可以计算得出第$i(i=1,2,{\cdots},n)$个评价对象未归一化的得分：

$$S_{i}=\frac{D^{-}_{i}}{D^{+}_{i}+D^{-}_{i}}$$

很明显$0\leqslant S_{i}\leqslant1$，且$S_{i}$越大$D^{+}_{i}$，即越接近最大值。

练习

题目：评价下表中20条河流的水质情况

注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好;植物性营养物量介于10~20之间最佳，超过20或低于10均不好。

河流	含氧量(ppm)	PH值A	细菌总数(个/mL)	植物性营养物量(ppm)
A	4.69	6.59	51	11.94
B	2.03	7.86	19	6.46
C	9.11	6.31	46	8.91
D	8.61	7.05	46	26.43
E	7.13	6.5	50	23.57
F	2.39	6.77	38	24.62
G	7.69	6.79	38	6.01
H	9.3	6.81	27	31.57
I	5.45	7.62	5	18.46
J	6.19	7.27	17	7.51
K	7.93	7.53	9	6.52
L	4.4	7.28	17	25.3
M	7.46	8.24	23	14.42
N	2.01	5.55	47	26.31
O	2.04	6.4	23	17.91
P	7.73	6.14	52	15.72
Q	6.35	7.58	25	29.46
R	8.29	8.41	39	12.02
S	3.54	7.27	54	3.16
T	7.44	6.26	8	28.41

注：数据是我随手编的，仅用于讲解相应的算法，可能有不合理之处，请见谅。