层次分析法

发表于 2024-02-28 更新于 2022-07-20 分类于数学建模

层次分析法是系统分析的工具之一，由美国运筹学教授Saaty于上世纪70年代中期提出。该方法将人的思维过程层次化、数量化，并用数学方法为分析、决策或预报提供定量依据。这是一种定量与定性相结合的方法。

判断矩阵

$a_{ij}$的意思是，与指标j相比，i的重要程度，当i=j时，两个指标相同，因此同等重要记为1。

$a_{ij}$>0且满足$a_{ij}$×$a_{ji}$=1，我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵，若正互反矩阵满足$a_{ij}$×$a_{jk}$=$a_{ik}$，则我们称其为一致矩阵。一致矩阵各行（列）之间成倍数关系。

在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

一致性检验原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别。

n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值$λ_{max}$=n，且当正互反矩阵A非一致时，一定满足$λ_{max}$>n。

一致性检验

第一步：计算一致性指标CI

$CI=\frac{λ_{max}-n}{n-1}$

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

实际运用中，n很少超过10，如果指标个数大于10则可考虑建立二级指标体系。
(1)平均随机一致性指标RI怎么计算来的?
RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵:随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值$λ^{‘}_{max}$,并定义

$RI=\frac{λ^{'}_{max}-n}{n-1}$

第三步：计算一致性比例CR

$CR=\frac{CI}{RI}$

如果CR<0.1,则可以认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

一致矩阵计算权重

举例：

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	4
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/4	1/2	1

苏杭=1/(1+0.5+.25)
北戴河=0.5/(1+0.5+.25)
桂林=0.25/(1+0.5+.25)

判断矩阵计算权重

算术平均法求权重

第一步，将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）。
第二步，将归一化的各列相加（按行求和）。
第三步，将相加后得到的向量中每个元素除以n（行数或列数）即可得到权重向量。
几何平均法求权重
第一步，将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量。
第二步，将新的向量的每个分量开n次方。
第三步，对该列向量进行归一化即可得到权重向量。
特征值法求权重
一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0。
第一步，求出矩阵的最大特征值以及其对应的特征向量。
第二步，对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重。
层次分析法步骤
层次分析法第一步
将问题条理化、层次化，构造一个有层次的结构模型。分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构（目标层、准则层、方案层）。层次结构图要放在论文中。
层次分析法第二步
比较同一层次元素对上一层次同一目标的影响。采取两两比较的方法，求出它们对于同一目标的重要性的比例标度，标度等级为1到9的整数以及1到9的倒数，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。

1~9标度的含义为：

1	两个元素同等重要
3	前者稍重要
5	前者明显重要
7	前者强烈重要
9	前者极端重要

2、4、6、8分别为以上的中间值。